第321章
(话放前面,后面基本没有什么看的,后面那一大堆玩意我复制来的,我自己都看不懂,主要是忽然想起了这本书了,也想起了这本书是为了玩战力圈写的,就补一下,再码就难为我了,毕竟断更多久了,我自己都不记得剧情发展了,而且感觉这本书的底层战力也低了些,整得蛮失败的)。
浩瀚长城中,几乎是二人刚到,就有人同时降临在这个节点,是一个青袍男子,他做了个请的手势:“二位同我来吧,我与你们讲一讲现在的形势。”
墨尘,法无仙对视一眼,这不是刚打吗,有什么形势可言的。
看出了二人的疑惑,青袍男子笑道:“虽然是刚打,可一个时间节点就够划分出无尽的局势了,你们来晚了一点,错过的可是长达数千年的争斗。”
说着,他又看向法无仙,连笑几声道:“这位道友初破元婴,不明白其中奥秘,等到元婴道果彻底稳固,自然一切都懂了。元婴奥秘,不足外人道也。”
他边走边道:“我们所处的六界,可以称之为永恒界天,而域外则是古玄界天,而这长城,也自然是以界天的名字命名的。”
“这里有供给元婴真人修炼的洞府,乃是天道具现,具有莫测的神威,哪怕是元婴,也能进步飞速。”
“同时,除了洞府外,我们还有大殿,那是议事的地方,能够绝对阻止对方强者的窥测,即便是几近超脱者,也不会知道里面的情况。”
“现在这里的形势对我方来说,不是很好,对方几近超脱者八人,我方五人,普通元婴倒是不计其数,不过在几近超脱者眼前,不过随手可灭的存在而已。”
讲述完当前的形势,他叹气一声,带着二人寻了两处洞府后就离去了。
进入洞府,墨尘就觉得无尽道则扑面而来,还有一种难以言明的力量,是天道留下的,与墨界的本源很像,不过要强太多了,它在牵引修炼者的真灵,让其去往更高的法则领悟之地,也难怪会让元婴真人进步神速。
环视四周,这里说是洞府,不如说一方小世界,墨尘叹息道:“还是早日突破元婴吧,一旦突破元婴,我就能立地成为天君,到时这一方的高层战力也算是多一个了。”
……
解决了古玄界天,又静修了数年,连连突破,元婴境的瓶颈,对他来说就像虚无不存。
又是数月,天外界群开始了暴动,极致的镇压之力降下,似乎是想要按住什么东西。
是墨尘,他要超脱这天外界群,成就化神,最终,这意志还是未能拦得住他。
“这就是化神吗……”
修成化神并没有什么惊天动地的阵势,一切都是在悄无声息中完成的,让他有种不真实感,不止是突破的不真实,就连这一切世界、众生,乃至于大道都给他一种不真实感。
“化神者,真君也,凌驾于世界定义之上……”
“时空一念可掀翻重来,更替大道本源,将未来都给谱写,掌控每个节点发生的所有变化,画卷之中近乎全知全能者……”
他呢喃着,稍微动一念,浅浅试下这个境界的力量。
虚无中,一根弦构建而成,弦微微颤动,无限的力量便生出。
第二次拨动,这方世界就变得难以想象的强大,将无限比作0,0~1之间的差距不可称计,无限的无限次方(1)的无限(1)次方(2),循环无限次,便是0.(无限位0)1。
把以上再做基础无限,继续这般,便是0.(无限位0)2,如此持续到1,1~2之间,差距同样。
而0~无限,便是第二次拨动的结果。
第三次,把第二次的结果视做基础无限的那个0,继续拨动,第二次则是用第一次的结果为基础,如此实在无穷次拨动无限次弦,便形成了第一节点;
实在无穷非简单无限,而是先前无论搭建到何种强度,都被实在无穷囊括在内,处于其下。
节点者,时间刻度也,于时间长河上存在,每一秒的间隔之间,都有无限的时间节点,每两个节点之间,也有无穷节点,如此无穷次嵌套。
第一个节点为基础,运转此方法,便可推演第二个节点,如此一直把节点推到永恒的尽头,就形成了第二根弦。
此时再回归到代表初始的第一个节点,双弦同时发力,再度推到永恒尽头,便是第三条弦被缔造,如此实在无穷条弦形成后,就要一个尘埃粒子包裹起来,自此便有了大小的概念。
在这个尘埃粒子中,绝对无限渺小之地,有绝对无穷多的尘埃粒子,每个尘埃粒子中的绝对无限渺小之地亦同样。
尘埃粒子内的第一个尘埃粒子,以初始尘埃粒子为基础,缔造出了第一根弦,如此绝对无穷的弦被缔造之后,就以它为基础,第二个尘埃粒子中的第一根弦…第三个尘埃粒子中的第一根弦……
如此反复,代表初始的尘埃粒子依然是绝对无限渺小的,它想向着绝对无限大冲去,如此就诞生了外部第二个初始尘埃粒子,以这个尘埃粒子的所有为基础,继续搭建,绝对无穷个初始尘埃粒子被缔造,就是绝对无穷渺小,将它视做第一轮,如此绝对无穷轮,便形成了一个世界。
小主,这个章节后面还有哦,请点击下一页继续阅读,后面更精彩!世界继续化初始之弦,二次轮回为一阶一级世界,继续轮回为一阶二级世界,如此达到无限阶无限级世界……恒无止境。
“这个宇宙很强大,但为何我的心中毫无波动,是成了化神真君的缘故吗”墨尘呢喃,这只是一个念头而已,没有用一丝力量,但这…似乎不是极限。
诸世间就好像是个画卷,化神真君高了画卷一些,因此可以描绘画卷中的一切,无论再强对于化神真君来说都没有消耗。
“继续吧……”
墨尘还想试试,于是操控这世界诞生了众生,众生拥有思维,宇宙采集着这些思维,居然先延伸出了一个强大无比的数学宇宙,包含着整个数学的体系。
这个宇宙诞生以后,他脑海中也闪过一个词,一阶,诸天一阶,这似乎是诸天一阶的某个阶段,若是将诸天一阶比作一条浩瀚无限的路,那么这所谓的数学宇宙,就连起点也没走出去。
就连化神真君,也只是属于一阶之中中规中矩的存在。
CK序数、阿列夫数、世界基数、不可数基数、不可达基数、马洛基数、不可描述基数……
CK序数:第一个不可计算序数是ω_1^ck,这是所有递归序数的集合,而ck是邱奇克林的缩写,而第二个不可计算序数为ω_2^ck,这是第一个不可计算序数ω_1^ck放入任何递归运算的集合总和,这里的运算可以有很多,如后继,加法,乘法,乘方,中函数,序数坍缩函数.…...,而我们还有第三个不可计算序数ω_3^ck,第四个不可计算序数ω_4^ck,第五个不可计算序数ω_5^ck.....以此类推,不可计算序数可以任意的多,不过任意ω_a^ck也都小于阿列夫一,而我们还有着对不可计算序数的拓展,也就是Фck,假如说有一个不可计算序数ω_1^ck,用Фck可以表示为Ф(1)^ck,ω_2^ck可以表示为Ф(2)^ck,ω_3^ck可以表示为Ф(3)^ck.....以此类推,运算规则都一样,而Ф(1)^ck、Ф(2)^ck、Ф(3)^ck.....用二元ck函数可以表示为Ф(0,1)^ck,Ф(0,2)^ck,Ф(0,3)^ck....以此类推。
阿列夫数:从阿列夫数开始,我们就进入了无穷大的概念。通过不断地构造一个集合,或者说一个集合拥有无穷多个元素,比如{0,1,2……},那么它的势(即它元素的个数),就是阿列夫零,阿列夫零可以被理解为最小的无穷基数。既然有阿列夫零,那肯定还会有阿列夫一、阿列夫二……的确,阿列夫一就是大于阿列夫零的下一个最小的无穷基数,阿列夫二就是大于阿列夫一的下一个最小的无穷基数……以此类推。不断地向下迭代,阿列夫阿列夫阿列夫……一直到阿列夫但是已经到达了无穷大的概念,单纯的数学运算已经不能将这些无穷大增强了。就好像ω+1、ω+ω……这些运算是无法到达阿列夫一的。因为你会发现,即使在无穷大的基础上,增加它的序数,是无法使得它的基数变大的,这两个数都是同样的无穷大,它们的元素依然可以一一对应。所以,需要一些公理或者一些定理、假设来证明更大的阿列夫一。连续统假设则认为2的阿列夫零次方等于阿列夫一,因为2的阿列夫零次方是对阿列夫零取幂集,一个集合的幂集的势,一般都比这个集合本身的元素个数多(空集除外)。(正数、负数、有理数、分数、偶数、奇数等集合的势是阿列夫零,实数集的势是阿列夫一,因为实数集当中包含了无理数,无理数是有理数无法通过加减乘除一个不是无理数的数得到不动点。
世界基数:如果一个k满足Vκ是ZFC的一个模型,那么κ是一个世界基数。
不可数基数:(比不可达基数小),不可数基数是一种无穷基数。不可数集的基数统称为不可数基数。一个无穷集合,如果不与自然数集等势,它就具有不可数基数。例如实数集R的基数、R的幂集P(R)的基数都是不可数基数。不可数基数有无穷多个等级。
不可达基数:不可达基数就是指不可数正规的强极限基数,如果是不可数正规的极限基数,则称之为弱不可达基数。可数就是指小于等于阿列夫零的基数。反之不可数就是指大于阿列夫零的基数。后继,就是指比它小的基数中有最大值,极限就是指比它小的基数中没有最大值,强极限就是比它小的任意基数中,2的次方均小于它。正规就是到达它的最短长度等于本身,也就是若k是正则基数,则不存在小于k个小于k的集组之并的基数为k,或者说不存在小于k个严格递增的序列,其极限为k。奇异就是到达它的最短长度小于本身。对于基数k,存在小于k的严格递增的序列的极限为k,则k为奇异基数。正规和奇异基数引入了共尾度的概念,共尾度就是到达它的最短长度。后继序数的共尾度是1。正则基数就是cf(k)=k,奇异基数就是cf(k)<k。
小主,这个章节后面还有哦,请点击下一页继续阅读,后面更精彩!不可达基数k就是对任意小于k的基数,取幂集的基数仍然小于k并且由任意小于k个小于k的集组之并的基数仍然小于k。而对比弱不可达基数只要满足<k的任意基数的后继仍然<k就行。而具有以上相同性质的可数基数就是阿列夫零。
马洛基数:又称马赫罗基数,对于所有K,正则基数β的初始段(即β以下的所有基数)中都包含一个K基数。这里的K在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中,删去所有小于K的基数后,剩余的基数集合是一个K的闭集。也就是一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集,小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集,则κ为马洛基数,说明白点就是任意不可达基数k,其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集取驻集族为{a{0,1}都存在一个κ个元素的子集使f在这个集上的值相同。也是,最小不可达基数κ,需要满足cfκ=κ,a<κ→2^a<κ的基数,一个2-不可达基数κ是第κ个不可达基数,一个超不可达基数就是κ-不可达基数,每一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集,小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集,则κ为马洛基数,说明白点就是任意不可达基数k,其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集,则此k为马洛基数,第马洛基数个不可达基数一定是马洛基数。然后是2-马洛基数,下面的马洛基数形成驻集,超马洛基数,κ是κ-马洛基数。
不可描述基数:基数K称为∏n不可描述基数如果对于每个∏m命题(φ,并且设置A?∨κ与(Vκ+n,∈,A)╞φ存在一个α<κ与(Vα+n,∈,A∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式,最外层的量词是通用的。∏n不可描述基数以类似的方式定义。这个想法是,即使具有额外的一元谓词符号(对于A)的优势,也无法通过具有m-1次量词交替的n+1阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来(从下面看)。这意味着它很大,因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。如果基数κ是∏nm,则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。也是,这里不可描述基数是指一类大基数,指用∏nm或者是∑nm公式的概念和模型论工具所定义的基数,若对任何仅含一个二阶自由变元X的∏nm公式或∑nm公式Φ(X),当有α层结构〈Vα,∈?Vα,R〉满足Φ(R)时,即〈Vα,∈?Vα,R〉?Φ(R)成立时,存在β<α,使β层子结构也满足Φ(R),即〈Vβ,∈?Vβ,R∩Vβ〉?Φ(R∩Vβ),则称基数α为∏mn或∑mn不可描述基数,注意到反射原理是指全域中的任何一阶公式可以用某一层Vβ中的相对化公式来代替,此处的不可描述性,就是指,在α层结构中真的公式,必可在α之前的某β层中为真,公式加以适当的限制,这种不可描述基数必然是很大的一类大基数,κ是强不可达基数,当且仅当κ是∏10不可描述基数,又当且仅当κ是∑11不可描述基数,κ是弱紧基数,当且仅当κ是∏11不可描述基数,若κ是可测基数,则κ是∏21不可描述基数。
可迭代基数:将基数κ定义为可迭代的,前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中,其中在κ上存在一个M-超滤器,允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念,其中一个基数κ被定义为α-iterable如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根
拉姆齐基数:让[κ]<ω表示κ的所有有限子集的集合。如果对于每个函数,基数κ称为
f:[κ]<ω→
存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说,对于每个n,函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为κ的固定子集,则基数κ被称为不可言说的Ramsey。如果对于每个函数,基数κ实际上被称为
f:[κ]<ω→
存在C,它是κ的一个闭无界子集,因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ,都存在一个与f齐次的入的无界子集;稍微弱一点的是lamostRamsey的概念,其中对于每个λ<κ,需要有序类型λ的f的同质集。
将基数κ定义为可迭代的,前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中,其中在κ上存在一个M-超滤器,允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。
Gitman给出了一个更好的概念,其中一个基数κ被定义为α-iterable如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。
也就是,拉姆齐基数定理确立了ω具有R基数推广到不可数情况的特定性质,令让[κ]<ω表示κ的所有有限子集的集合,一个不可数的基数κ称为R如果,对于每个函数f:[κ]<ω→{0,1},有一个基数κ的集合A对于f是齐次的,也就是说,对于每个n,函数f在来自A的基数n的子集上是常数,如果A可以选择为κ的平稳子集,则基数κ被称为不可称的R,如果对于每个函数,基数κ实际上称为Rf:[κ]<ω→{0,1},有C是κ的一个封闭且无界的子集,因此对于C中的每个λ具有不可数的共尾性,有一个λ的无界子集对于f是同质的;稍微弱一点的是几乎R的概念,其中对于每个λ<κ,f的齐次集都需要阶类型λ,这些R基数中的任何一个的存在都足以证明0#的存在,或者实际上每个秩小于κ的集合都有一个尖,每个可测基数都是R大基数,每个R大基数都是R大基数,介于R和可测性之间的强度中间属性是κ上存在κ完全正态非主理想I使得对于每个A?I和对于每个函数,f:[κ]<ω→{0,1},有一个集合B?A不在I中,对于f是齐次的,R基数的存在意味着0#的存在,这反过来又意味着Kurt的可构公理的错误。
本小章还未完,请点击下一页继续阅读后面精彩内容!强拉姆齐基数:一个为κ的强拉姆齐基数,而且仅当对于每一个A?κ位于一个存在κ上的弱自可的κ-模型M,κ-模型M可数完备,〈M,U〉满足κ-完备,它必然是正确的,因为M在长度小于κ的序列下是封闭的。强拉姆齐基数的力迫相关性质与之前的拉姆齐基数相同,强拉姆齐基数的一致性强于拉姆齐基数。
弱紧致基数:(位于马洛基数后
k是弱紧致基数是指不可数且满足k→(k)。
所谓k是弱紧致基数,是指在不可数且Lκ,κ-句的集合中至多只使用了k个非逻辑符号的情况下,如果k-能够满足则能够满足。(弱紧致性)记载了两个弱紧致基数的定义。
前者是组合论的性质,后者是模型理论的性质。
首先需要确认这个定义是相同值,还是真的定义了相同的基数,但是以后再进行,这个弱紧致基数具有什么性质,是组合论和模型理论这两个理论。
也是大基数的一种,特殊的强不可达基数,一个基数κ被称为弱紧的,如果κ是强不可达的并且满足树性质或划分性质,从定义可见,弱紧性弱于可测性但强于不可达性,弱紧致基数是大基数理论中的一个核心概念,若语言Lκκ中任何只用到≤κ个非逻辑符号的语句集A有模型,当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型,则称基数κω是弱紧基数,弱紧基数是由匈牙学者爱尔特希和波兰学者塔尔斯基于1961年开始进行研究的,弱紧基数的等价性质很多,例如以无穷组合论中的一些性质来刻画,对于κω,κ是弱紧基数与以下各条等价:
1.κ具有分划性κ→(κ)22。
2.对任何基数γκ及nω,κ具有分划性质κ→(κ)nγ。
3.κ是强不可达基数且有数性质,κ是弱紧基数还与下列这些性质等价。
4.κ是超滤性质。
5.κ有弱超滤性质且κ是强不可达基数。
6.κ有Vκ可扩张性质。
7.κ有序性质。
8.κ是π11不可描述基数。
汉弗(Hanf,)于1964年与库仑(Kunen,K.)于1977年的工作结合起来,得到如下结论:
弱紧致基数κ是强马赫罗基数,并且κ以下的强马赫罗基数的集合是κ的驻子集.通常的一阶逻辑语言是Lωω,其紧致性定理是:
Lωω的任一语句集A有模型,当且仅当A的每个有穷子集有模型,亦即,语言Lωω是(ω,ω)紧的,上述弱紧基数的定义与此略有不同,如果完全依照ω的这一紧致性而加以推广,则可定义另一种弱紧基数,人们称之为弱紧2基数,基数κω称为弱紧2基数,是指语言Lκκ是(κ,κ)紧的,即对于Lκκ的任何基数≤κ的语句集A,A有模型,当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型,若将先前定义的弱紧基数称为弱紧1基数,则可以证明:
κ是弱紧1基数,当且仅当κ是弱紧2基数,且是强不可达基数,在广义连续统假设之下,弱紧1与弱紧2基数是相同的,弱紧2基数必为弱马赫罗基数
可测基数:(在拉姆齐基数后
为了定义这个概念,人们在基数κ上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数κ,它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集,使得κ本身很大,?并且所有单例{α},α∈κ很小,小集的补集很大,并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。
事实证明,具有二值测度的不可数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。形式上,可测基数是不可数基数κ,使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。
(这里术语k-additive意味着,对于任何序列Aα,α<λ的基数λ<κ,Aα是成对相交的小于κ的序数集,Aα的并集的度量等于个人Aα的措施。)将满足集合a上的下一个的滤波器f称为超滤波器,对于所有的xa,X∈F或AX∈Fω上存在ω-完备非一元超滤波器,当k为不可数基数,k上存在K-完备非一元超滤波器时,k称为可数基数
定理
可测基数为不可达基数,可预测基数公理(Meas):“存在可预测基数.”可测基数与初等嵌入,当k是可测基数时,根据k上K-完备非一元超滤波器对v的超幂,构造了一类可拓m和一类函数j:V→M,并给出了《φ(x1,...,xn):L∈-理论式》
?x1,...,xn∈V(φV(x1,...,xn)?φ
对于所有α<K,j(α)=α且j(K)>k将j称为从v到m的初等嵌入,k是j的临界点
使用这个初等嵌入,可以显示出可预测基数k的很多性质在这种初等嵌入的存在下,k的可测性具有特征。
本小章还未完,请点击下一页继续阅读后面精彩内容!也是,可测基数是一个不可数的κ,因此在κ的幂集上存在加性、非平凡、0-1值测度,而κ-additive意味着,对于任何序列Aα,α<λ的基数λ<κ,Aα是<κ的序数的成对不相交集,Aα的并集的度量等于个体Aα的测量值。
κ是可测的意味着它是将宇宙V的非平凡基本嵌入到传递类M的临界,并使用了模型理论中的超强构造,由于V是一个适当的类别,因此需要解决一个在考虑超能力时通常不存在的技术问题,当且仅当κ是具有κ完全非主超滤器的不可数基数时,κ是可测量的基数,这也意味着超滤器中任何严格小于κ的集合的交集也在超滤器中。
强可展开基数:(位于不可描述基数后
基数κ是λ不可展开的,当且仅当对于ZFC的基数κ的每个传递模型M负幂集使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列,有非-将M的非平凡基本元素j嵌入到传递模型中,其中j的临界点为κ,且j(κ)≥λ,一个基数是可展开的当且仅当它对于所有的序数λ都是λ-不可折叠的,一个基数κ是强λ不可折叠的当且仅当对于每个ZFC负幂集的基数κ的传递模型M使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列,存在一个非-将M的平凡基本嵌入j到传递模型“N”中,其中j的临界点为κ,j(κ)≥λ,并且V(λ)是N的子集,不失一般性,我们也可以要求N包含其所有长度为λ的序列,一个基数是强可展开的当且仅当它对于所有λ都是强λ-不可展开的。
强基数:如果λ是任何序数,κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和Vλ?M也就是说,M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。
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浩瀚长城中,几乎是二人刚到,就有人同时降临在这个节点,是一个青袍男子,他做了个请的手势:“二位同我来吧,我与你们讲一讲现在的形势。”
墨尘,法无仙对视一眼,这不是刚打吗,有什么形势可言的。
看出了二人的疑惑,青袍男子笑道:“虽然是刚打,可一个时间节点就够划分出无尽的局势了,你们来晚了一点,错过的可是长达数千年的争斗。”
说着,他又看向法无仙,连笑几声道:“这位道友初破元婴,不明白其中奥秘,等到元婴道果彻底稳固,自然一切都懂了。元婴奥秘,不足外人道也。”
他边走边道:“我们所处的六界,可以称之为永恒界天,而域外则是古玄界天,而这长城,也自然是以界天的名字命名的。”
“这里有供给元婴真人修炼的洞府,乃是天道具现,具有莫测的神威,哪怕是元婴,也能进步飞速。”
“同时,除了洞府外,我们还有大殿,那是议事的地方,能够绝对阻止对方强者的窥测,即便是几近超脱者,也不会知道里面的情况。”
“现在这里的形势对我方来说,不是很好,对方几近超脱者八人,我方五人,普通元婴倒是不计其数,不过在几近超脱者眼前,不过随手可灭的存在而已。”
讲述完当前的形势,他叹气一声,带着二人寻了两处洞府后就离去了。
进入洞府,墨尘就觉得无尽道则扑面而来,还有一种难以言明的力量,是天道留下的,与墨界的本源很像,不过要强太多了,它在牵引修炼者的真灵,让其去往更高的法则领悟之地,也难怪会让元婴真人进步神速。
环视四周,这里说是洞府,不如说一方小世界,墨尘叹息道:“还是早日突破元婴吧,一旦突破元婴,我就能立地成为天君,到时这一方的高层战力也算是多一个了。”
……
解决了古玄界天,又静修了数年,连连突破,元婴境的瓶颈,对他来说就像虚无不存。
又是数月,天外界群开始了暴动,极致的镇压之力降下,似乎是想要按住什么东西。
是墨尘,他要超脱这天外界群,成就化神,最终,这意志还是未能拦得住他。
“这就是化神吗……”
修成化神并没有什么惊天动地的阵势,一切都是在悄无声息中完成的,让他有种不真实感,不止是突破的不真实,就连这一切世界、众生,乃至于大道都给他一种不真实感。
“化神者,真君也,凌驾于世界定义之上……”
“时空一念可掀翻重来,更替大道本源,将未来都给谱写,掌控每个节点发生的所有变化,画卷之中近乎全知全能者……”
他呢喃着,稍微动一念,浅浅试下这个境界的力量。
虚无中,一根弦构建而成,弦微微颤动,无限的力量便生出。
第二次拨动,这方世界就变得难以想象的强大,将无限比作0,0~1之间的差距不可称计,无限的无限次方(1)的无限(1)次方(2),循环无限次,便是0.(无限位0)1。
把以上再做基础无限,继续这般,便是0.(无限位0)2,如此持续到1,1~2之间,差距同样。
而0~无限,便是第二次拨动的结果。
第三次,把第二次的结果视做基础无限的那个0,继续拨动,第二次则是用第一次的结果为基础,如此实在无穷次拨动无限次弦,便形成了第一节点;
实在无穷非简单无限,而是先前无论搭建到何种强度,都被实在无穷囊括在内,处于其下。
节点者,时间刻度也,于时间长河上存在,每一秒的间隔之间,都有无限的时间节点,每两个节点之间,也有无穷节点,如此无穷次嵌套。
第一个节点为基础,运转此方法,便可推演第二个节点,如此一直把节点推到永恒的尽头,就形成了第二根弦。
此时再回归到代表初始的第一个节点,双弦同时发力,再度推到永恒尽头,便是第三条弦被缔造,如此实在无穷条弦形成后,就要一个尘埃粒子包裹起来,自此便有了大小的概念。
在这个尘埃粒子中,绝对无限渺小之地,有绝对无穷多的尘埃粒子,每个尘埃粒子中的绝对无限渺小之地亦同样。
尘埃粒子内的第一个尘埃粒子,以初始尘埃粒子为基础,缔造出了第一根弦,如此绝对无穷的弦被缔造之后,就以它为基础,第二个尘埃粒子中的第一根弦…第三个尘埃粒子中的第一根弦……
如此反复,代表初始的尘埃粒子依然是绝对无限渺小的,它想向着绝对无限大冲去,如此就诞生了外部第二个初始尘埃粒子,以这个尘埃粒子的所有为基础,继续搭建,绝对无穷个初始尘埃粒子被缔造,就是绝对无穷渺小,将它视做第一轮,如此绝对无穷轮,便形成了一个世界。
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“这个宇宙很强大,但为何我的心中毫无波动,是成了化神真君的缘故吗”墨尘呢喃,这只是一个念头而已,没有用一丝力量,但这…似乎不是极限。
诸世间就好像是个画卷,化神真君高了画卷一些,因此可以描绘画卷中的一切,无论再强对于化神真君来说都没有消耗。
“继续吧……”
墨尘还想试试,于是操控这世界诞生了众生,众生拥有思维,宇宙采集着这些思维,居然先延伸出了一个强大无比的数学宇宙,包含着整个数学的体系。
这个宇宙诞生以后,他脑海中也闪过一个词,一阶,诸天一阶,这似乎是诸天一阶的某个阶段,若是将诸天一阶比作一条浩瀚无限的路,那么这所谓的数学宇宙,就连起点也没走出去。
就连化神真君,也只是属于一阶之中中规中矩的存在。
CK序数、阿列夫数、世界基数、不可数基数、不可达基数、马洛基数、不可描述基数……
CK序数:第一个不可计算序数是ω_1^ck,这是所有递归序数的集合,而ck是邱奇克林的缩写,而第二个不可计算序数为ω_2^ck,这是第一个不可计算序数ω_1^ck放入任何递归运算的集合总和,这里的运算可以有很多,如后继,加法,乘法,乘方,中函数,序数坍缩函数.…...,而我们还有第三个不可计算序数ω_3^ck,第四个不可计算序数ω_4^ck,第五个不可计算序数ω_5^ck.....以此类推,不可计算序数可以任意的多,不过任意ω_a^ck也都小于阿列夫一,而我们还有着对不可计算序数的拓展,也就是Фck,假如说有一个不可计算序数ω_1^ck,用Фck可以表示为Ф(1)^ck,ω_2^ck可以表示为Ф(2)^ck,ω_3^ck可以表示为Ф(3)^ck.....以此类推,运算规则都一样,而Ф(1)^ck、Ф(2)^ck、Ф(3)^ck.....用二元ck函数可以表示为Ф(0,1)^ck,Ф(0,2)^ck,Ф(0,3)^ck....以此类推。
阿列夫数:从阿列夫数开始,我们就进入了无穷大的概念。通过不断地构造一个集合,或者说一个集合拥有无穷多个元素,比如{0,1,2……},那么它的势(即它元素的个数),就是阿列夫零,阿列夫零可以被理解为最小的无穷基数。既然有阿列夫零,那肯定还会有阿列夫一、阿列夫二……的确,阿列夫一就是大于阿列夫零的下一个最小的无穷基数,阿列夫二就是大于阿列夫一的下一个最小的无穷基数……以此类推。不断地向下迭代,阿列夫阿列夫阿列夫……一直到阿列夫但是已经到达了无穷大的概念,单纯的数学运算已经不能将这些无穷大增强了。就好像ω+1、ω+ω……这些运算是无法到达阿列夫一的。因为你会发现,即使在无穷大的基础上,增加它的序数,是无法使得它的基数变大的,这两个数都是同样的无穷大,它们的元素依然可以一一对应。所以,需要一些公理或者一些定理、假设来证明更大的阿列夫一。连续统假设则认为2的阿列夫零次方等于阿列夫一,因为2的阿列夫零次方是对阿列夫零取幂集,一个集合的幂集的势,一般都比这个集合本身的元素个数多(空集除外)。(正数、负数、有理数、分数、偶数、奇数等集合的势是阿列夫零,实数集的势是阿列夫一,因为实数集当中包含了无理数,无理数是有理数无法通过加减乘除一个不是无理数的数得到不动点。
世界基数:如果一个k满足Vκ是ZFC的一个模型,那么κ是一个世界基数。
不可数基数:(比不可达基数小),不可数基数是一种无穷基数。不可数集的基数统称为不可数基数。一个无穷集合,如果不与自然数集等势,它就具有不可数基数。例如实数集R的基数、R的幂集P(R)的基数都是不可数基数。不可数基数有无穷多个等级。
不可达基数:不可达基数就是指不可数正规的强极限基数,如果是不可数正规的极限基数,则称之为弱不可达基数。可数就是指小于等于阿列夫零的基数。反之不可数就是指大于阿列夫零的基数。后继,就是指比它小的基数中有最大值,极限就是指比它小的基数中没有最大值,强极限就是比它小的任意基数中,2的次方均小于它。正规就是到达它的最短长度等于本身,也就是若k是正则基数,则不存在小于k个小于k的集组之并的基数为k,或者说不存在小于k个严格递增的序列,其极限为k。奇异就是到达它的最短长度小于本身。对于基数k,存在小于k的严格递增的序列的极限为k,则k为奇异基数。正规和奇异基数引入了共尾度的概念,共尾度就是到达它的最短长度。后继序数的共尾度是1。正则基数就是cf(k)=k,奇异基数就是cf(k)<k。
小主,这个章节后面还有哦,请点击下一页继续阅读,后面更精彩!不可达基数k就是对任意小于k的基数,取幂集的基数仍然小于k并且由任意小于k个小于k的集组之并的基数仍然小于k。而对比弱不可达基数只要满足<k的任意基数的后继仍然<k就行。而具有以上相同性质的可数基数就是阿列夫零。
马洛基数:又称马赫罗基数,对于所有K,正则基数β的初始段(即β以下的所有基数)中都包含一个K基数。这里的K在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中,删去所有小于K的基数后,剩余的基数集合是一个K的闭集。也就是一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集,小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集,则κ为马洛基数,说明白点就是任意不可达基数k,其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集取驻集族为{a{0,1}都存在一个κ个元素的子集使f在这个集上的值相同。也是,最小不可达基数κ,需要满足cfκ=κ,a<κ→2^a<κ的基数,一个2-不可达基数κ是第κ个不可达基数,一个超不可达基数就是κ-不可达基数,每一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集,小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集,则κ为马洛基数,说明白点就是任意不可达基数k,其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集,则此k为马洛基数,第马洛基数个不可达基数一定是马洛基数。然后是2-马洛基数,下面的马洛基数形成驻集,超马洛基数,κ是κ-马洛基数。
不可描述基数:基数K称为∏n不可描述基数如果对于每个∏m命题(φ,并且设置A?∨κ与(Vκ+n,∈,A)╞φ存在一个α<κ与(Vα+n,∈,A∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式,最外层的量词是通用的。∏n不可描述基数以类似的方式定义。这个想法是,即使具有额外的一元谓词符号(对于A)的优势,也无法通过具有m-1次量词交替的n+1阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来(从下面看)。这意味着它很大,因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。如果基数κ是∏nm,则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。也是,这里不可描述基数是指一类大基数,指用∏nm或者是∑nm公式的概念和模型论工具所定义的基数,若对任何仅含一个二阶自由变元X的∏nm公式或∑nm公式Φ(X),当有α层结构〈Vα,∈?Vα,R〉满足Φ(R)时,即〈Vα,∈?Vα,R〉?Φ(R)成立时,存在β<α,使β层子结构也满足Φ(R),即〈Vβ,∈?Vβ,R∩Vβ〉?Φ(R∩Vβ),则称基数α为∏mn或∑mn不可描述基数,注意到反射原理是指全域中的任何一阶公式可以用某一层Vβ中的相对化公式来代替,此处的不可描述性,就是指,在α层结构中真的公式,必可在α之前的某β层中为真,公式加以适当的限制,这种不可描述基数必然是很大的一类大基数,κ是强不可达基数,当且仅当κ是∏10不可描述基数,又当且仅当κ是∑11不可描述基数,κ是弱紧基数,当且仅当κ是∏11不可描述基数,若κ是可测基数,则κ是∏21不可描述基数。
可迭代基数:将基数κ定义为可迭代的,前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中,其中在κ上存在一个M-超滤器,允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念,其中一个基数κ被定义为α-iterable如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根
拉姆齐基数:让[κ]<ω表示κ的所有有限子集的集合。如果对于每个函数,基数κ称为
f:[κ]<ω→
存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说,对于每个n,函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为κ的固定子集,则基数κ被称为不可言说的Ramsey。如果对于每个函数,基数κ实际上被称为
f:[κ]<ω→
存在C,它是κ的一个闭无界子集,因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ,都存在一个与f齐次的入的无界子集;稍微弱一点的是lamostRamsey的概念,其中对于每个λ<κ,需要有序类型λ的f的同质集。
将基数κ定义为可迭代的,前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中,其中在κ上存在一个M-超滤器,允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。
Gitman给出了一个更好的概念,其中一个基数κ被定义为α-iterable如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。
也就是,拉姆齐基数定理确立了ω具有R基数推广到不可数情况的特定性质,令让[κ]<ω表示κ的所有有限子集的集合,一个不可数的基数κ称为R如果,对于每个函数f:[κ]<ω→{0,1},有一个基数κ的集合A对于f是齐次的,也就是说,对于每个n,函数f在来自A的基数n的子集上是常数,如果A可以选择为κ的平稳子集,则基数κ被称为不可称的R,如果对于每个函数,基数κ实际上称为Rf:[κ]<ω→{0,1},有C是κ的一个封闭且无界的子集,因此对于C中的每个λ具有不可数的共尾性,有一个λ的无界子集对于f是同质的;稍微弱一点的是几乎R的概念,其中对于每个λ<κ,f的齐次集都需要阶类型λ,这些R基数中的任何一个的存在都足以证明0#的存在,或者实际上每个秩小于κ的集合都有一个尖,每个可测基数都是R大基数,每个R大基数都是R大基数,介于R和可测性之间的强度中间属性是κ上存在κ完全正态非主理想I使得对于每个A?I和对于每个函数,f:[κ]<ω→{0,1},有一个集合B?A不在I中,对于f是齐次的,R基数的存在意味着0#的存在,这反过来又意味着Kurt的可构公理的错误。
本小章还未完,请点击下一页继续阅读后面精彩内容!强拉姆齐基数:一个为κ的强拉姆齐基数,而且仅当对于每一个A?κ位于一个存在κ上的弱自可的κ-模型M,κ-模型M可数完备,〈M,U〉满足κ-完备,它必然是正确的,因为M在长度小于κ的序列下是封闭的。强拉姆齐基数的力迫相关性质与之前的拉姆齐基数相同,强拉姆齐基数的一致性强于拉姆齐基数。
弱紧致基数:(位于马洛基数后
k是弱紧致基数是指不可数且满足k→(k)。
所谓k是弱紧致基数,是指在不可数且Lκ,κ-句的集合中至多只使用了k个非逻辑符号的情况下,如果k-能够满足则能够满足。(弱紧致性)记载了两个弱紧致基数的定义。
前者是组合论的性质,后者是模型理论的性质。
首先需要确认这个定义是相同值,还是真的定义了相同的基数,但是以后再进行,这个弱紧致基数具有什么性质,是组合论和模型理论这两个理论。
也是大基数的一种,特殊的强不可达基数,一个基数κ被称为弱紧的,如果κ是强不可达的并且满足树性质或划分性质,从定义可见,弱紧性弱于可测性但强于不可达性,弱紧致基数是大基数理论中的一个核心概念,若语言Lκκ中任何只用到≤κ个非逻辑符号的语句集A有模型,当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型,则称基数κω是弱紧基数,弱紧基数是由匈牙学者爱尔特希和波兰学者塔尔斯基于1961年开始进行研究的,弱紧基数的等价性质很多,例如以无穷组合论中的一些性质来刻画,对于κω,κ是弱紧基数与以下各条等价:
1.κ具有分划性κ→(κ)22。
2.对任何基数γκ及nω,κ具有分划性质κ→(κ)nγ。
3.κ是强不可达基数且有数性质,κ是弱紧基数还与下列这些性质等价。
4.κ是超滤性质。
5.κ有弱超滤性质且κ是强不可达基数。
6.κ有Vκ可扩张性质。
7.κ有序性质。
8.κ是π11不可描述基数。
汉弗(Hanf,)于1964年与库仑(Kunen,K.)于1977年的工作结合起来,得到如下结论:
弱紧致基数κ是强马赫罗基数,并且κ以下的强马赫罗基数的集合是κ的驻子集.通常的一阶逻辑语言是Lωω,其紧致性定理是:
Lωω的任一语句集A有模型,当且仅当A的每个有穷子集有模型,亦即,语言Lωω是(ω,ω)紧的,上述弱紧基数的定义与此略有不同,如果完全依照ω的这一紧致性而加以推广,则可定义另一种弱紧基数,人们称之为弱紧2基数,基数κω称为弱紧2基数,是指语言Lκκ是(κ,κ)紧的,即对于Lκκ的任何基数≤κ的语句集A,A有模型,当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型,若将先前定义的弱紧基数称为弱紧1基数,则可以证明:
κ是弱紧1基数,当且仅当κ是弱紧2基数,且是强不可达基数,在广义连续统假设之下,弱紧1与弱紧2基数是相同的,弱紧2基数必为弱马赫罗基数
可测基数:(在拉姆齐基数后
为了定义这个概念,人们在基数κ上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数κ,它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集,使得κ本身很大,?并且所有单例{α},α∈κ很小,小集的补集很大,并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。
事实证明,具有二值测度的不可数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。形式上,可测基数是不可数基数κ,使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。
(这里术语k-additive意味着,对于任何序列Aα,α<λ的基数λ<κ,Aα是成对相交的小于κ的序数集,Aα的并集的度量等于个人Aα的措施。)将满足集合a上的下一个的滤波器f称为超滤波器,对于所有的xa,X∈F或AX∈Fω上存在ω-完备非一元超滤波器,当k为不可数基数,k上存在K-完备非一元超滤波器时,k称为可数基数
定理
可测基数为不可达基数,可预测基数公理(Meas):“存在可预测基数.”可测基数与初等嵌入,当k是可测基数时,根据k上K-完备非一元超滤波器对v的超幂,构造了一类可拓m和一类函数j:V→M,并给出了《φ(x1,...,xn):L∈-理论式》
?x1,...,xn∈V(φV(x1,...,xn)?φ
对于所有α<K,j(α)=α且j(K)>k将j称为从v到m的初等嵌入,k是j的临界点
使用这个初等嵌入,可以显示出可预测基数k的很多性质在这种初等嵌入的存在下,k的可测性具有特征。
本小章还未完,请点击下一页继续阅读后面精彩内容!也是,可测基数是一个不可数的κ,因此在κ的幂集上存在加性、非平凡、0-1值测度,而κ-additive意味着,对于任何序列Aα,α<λ的基数λ<κ,Aα是<κ的序数的成对不相交集,Aα的并集的度量等于个体Aα的测量值。
κ是可测的意味着它是将宇宙V的非平凡基本嵌入到传递类M的临界,并使用了模型理论中的超强构造,由于V是一个适当的类别,因此需要解决一个在考虑超能力时通常不存在的技术问题,当且仅当κ是具有κ完全非主超滤器的不可数基数时,κ是可测量的基数,这也意味着超滤器中任何严格小于κ的集合的交集也在超滤器中。
强可展开基数:(位于不可描述基数后
基数κ是λ不可展开的,当且仅当对于ZFC的基数κ的每个传递模型M负幂集使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列,有非-将M的非平凡基本元素j嵌入到传递模型中,其中j的临界点为κ,且j(κ)≥λ,一个基数是可展开的当且仅当它对于所有的序数λ都是λ-不可折叠的,一个基数κ是强λ不可折叠的当且仅当对于每个ZFC负幂集的基数κ的传递模型M使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列,存在一个非-将M的平凡基本嵌入j到传递模型“N”中,其中j的临界点为κ,j(κ)≥λ,并且V(λ)是N的子集,不失一般性,我们也可以要求N包含其所有长度为λ的序列,一个基数是强可展开的当且仅当它对于所有λ都是强λ-不可展开的。
强基数:如果λ是任何序数,κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和Vλ?M也就是说,M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。
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