第321章 续写2
(跟上一章同样的理由)
伯克利基数:Berkeley基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数K,具有以下性质:
对于包含k和α<k的每个传递集M,存在M的非平凡初等嵌入,其中a<临界点<基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理,这意味着它们与选择公理不兼容。作为伯克利基数的弱化是,对于Vk上的每个二元关系R,都有(VK,R)的非平凡基本嵌入到自身中。
这意味着我们有基本的
j1,
j1:(Vk,∈)→(VK,∈
j2:(VK,∈,j1)→(Vk,∈
j3:(Vk,∈,j1,j2)→(VK,∈,j1,j2)等等。
这可以持续任意有限次,并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。
因此,似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。对于每个序数入,存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型,该模型在入序列下是封闭的,是不需要定义的类。
超级莱茵哈特基数:对于任一序数α,存在一j:V→Vwithj(K)>α并具有临界点K,可以称为0=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性,从而使该系统下所有命题为真。
伯克利club:基数κ是伯克利基数,如果对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α<κ,都会有一个初等嵌入j:M<M和critj<k,如果真的存在伯克利基数,那么就会有对力迫扩张绝对,它使最小的伯克利基数有共尾性ω,通过对κ的施加一定的条件,似乎可以增强Berkeley性质,如果κ是Berkeley和α,α∈M且M有传递,那么对于任意α<k,都有一个j:M<M和α<critj<k和critj(a)=a,对于任意一个可传递的M?k都存在j:M?M与critj<K,基数是Berkeley,且仅当对于任何传递集M?κ存在j:M?M和α<critj<k,因此δ≥k,δ也是伯克利,最小的伯克利基数也被称为δ_α,称κ为club-伯克利,如果κ是正则的,并且对于所有club→C?κ和所有带κ的传递集M∈M;有j∈ε(M)和crit(j)∈C,称κ为limitclub伯克利,它是一个club伯克利基数/limit伯克利基数,如果K为最小的伯克利,则y<k。
冯·诺依曼宇宙
V_α+1=P(V_α
若λ为极限序数,则V_λ=∪_kλV_k,
V=∪_kV_k,k跑遍所有序数,令ord为所有序数的类则V=∪_k∈
V表示宇宙V,?表示初始状态,α表示任意序数,P表示幂集,∪表示并集,k表示序数。
可构造宇宙
定义Def为一个包含所有X子集的集合。一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u?,u?,u?,……∈
使得x={y∈X:φ?[y,u?,u?,u?,……
然后:L?=?,L?=Def(L1)={?}=1,Ln+1=Def(Ln)=n,Lω=∪_k<ωLω,Lλ=∪_k<λλisalimitordinal?是极限序数
L=∪_kLk,k跑遍所有序数
宇宙V=终极L:
V=终极L的前置条件:
一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。
如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的ω?序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。见证普遍分区公理成立。见证强普遍分区公理成立。终极L是一个典范内模型,并见证地面公理GroundAxiom成立。
V=终极L的直接推论:
见证最大基数伊卡洛斯的存在性。见证真类多的武丁基数终极L是最大的内模型。见证能够和选择公理兼容的最大的类-ADR公理,并且θ是正则的。拥有最大的证明论序数。(即使序数分析目前远未到ZFC的水平)见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言,见证Ω猜想成立,见证每一个集合都是遗传序数可定义的,HOD猜集合都是遗传序数可定义的,HOD猜想成立。
见证ZF+Reinhardt不一致。存在非平凡初等嵌入j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ
V是最小的脱殊复宇宙。
见证广义连续统假设成立,并且ω?上有一个均匀预饱和理想。见证正常力迫公理成立。存在包含武丁基数的真类。进一步地,对于每一个rank-existential语句φ若φ在V中成立那么存在一个universallyBaire集AR使得有:HOD‘??∩V_Θ?φ,其中Θ=Θ???‘??(A,R).(V=终极
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伯克利基数:Berkeley基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数K,具有以下性质:
对于包含k和α<k的每个传递集M,存在M的非平凡初等嵌入,其中a<临界点<基数是比Reinhardt基数严格更强的基数公理,这意味着它们与选择公理不兼容。作为伯克利基数的弱化是,对于Vk上的每个二元关系R,都有(VK,R)的非平凡基本嵌入到自身中。
这意味着我们有基本的
j1,
j1:(Vk,∈)→(VK,∈
j2:(VK,∈,j1)→(Vk,∈
j3:(Vk,∈,j1,j2)→(VK,∈,j1,j2)等等。
这可以持续任意有限次,并且在模型具有依赖性选择的范围内无限。
因此,似乎可以通过断言更多依赖性选择来简单地加强这一概念。对于每个序数入,存在一个ZF+Berkeley基数的传递模型,该模型在入序列下是封闭的,是不需要定义的类。
超级莱茵哈特基数:对于任一序数α,存在一j:V→Vwithj(K)>α并具有临界点K,可以称为0=1是因为足够大的大基数公理会导致不一致性,从而使该系统下所有命题为真。
伯克利club:基数κ是伯克利基数,如果对于任何带κ的传递集k∈M和任何序数α<κ,都会有一个初等嵌入j:M<M和critj<k,如果真的存在伯克利基数,那么就会有对力迫扩张绝对,它使最小的伯克利基数有共尾性ω,通过对κ的施加一定的条件,似乎可以增强Berkeley性质,如果κ是Berkeley和α,α∈M且M有传递,那么对于任意α<k,都有一个j:M<M和α<critj<k和critj(a)=a,对于任意一个可传递的M?k都存在j:M?M与critj<K,基数是Berkeley,且仅当对于任何传递集M?κ存在j:M?M和α<critj<k,因此δ≥k,δ也是伯克利,最小的伯克利基数也被称为δ_α,称κ为club-伯克利,如果κ是正则的,并且对于所有club→C?κ和所有带κ的传递集M∈M;有j∈ε(M)和crit(j)∈C,称κ为limitclub伯克利,它是一个club伯克利基数/limit伯克利基数,如果K为最小的伯克利,则y<k。
冯·诺依曼宇宙
V_α+1=P(V_α
若λ为极限序数,则V_λ=∪_kλV_k,
V=∪_kV_k,k跑遍所有序数,令ord为所有序数的类则V=∪_k∈
V表示宇宙V,?表示初始状态,α表示任意序数,P表示幂集,∪表示并集,k表示序数。
可构造宇宙
定义Def为一个包含所有X子集的集合。一个X的子集x位于Def(X)当且仅当存在一个一阶逻辑公式φ和u?,u?,u?,……∈
使得x={y∈X:φ?[y,u?,u?,u?,……
然后:L?=?,L?=Def(L1)={?}=1,Ln+1=Def(Ln)=n,Lω=∪_k<ωLω,Lλ=∪_k<λλisalimitordinal?是极限序数
L=∪_kLk,k跑遍所有序数
宇宙V=终极L:
V=终极L的前置条件:
一个内模型是终极-L至少要见证一个超紧致基数。一个内模型是终极-L也可以至少见证超幂公理UA+地面公理GA+存在一个最小强紧致基数成立。一个内模型是终极-L必须是基于策略分支假设SBH。
如果V[G]是V的脱殊集合扩张并且V在V[G]的ω?序列下不封闭那么V[G]≠终极-L并且V[G]中普遍分区公理不成立。见证普遍分区公理成立。见证强普遍分区公理成立。终极L是一个典范内模型,并见证地面公理GroundAxiom成立。
V=终极L的直接推论:
见证最大基数伊卡洛斯的存在性。见证真类多的武丁基数终极L是最大的内模型。见证能够和选择公理兼容的最大的类-ADR公理,并且θ是正则的。拥有最大的证明论序数。(即使序数分析目前远未到ZFC的水平)见证能够和选择公理兼容的最强的实数正则性质断言,见证Ω猜想成立,见证每一个集合都是遗传序数可定义的,HOD猜集合都是遗传序数可定义的,HOD猜想成立。
见证ZF+Reinhardt不一致。存在非平凡初等嵌入j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ
V是最小的脱殊复宇宙。
见证广义连续统假设成立,并且ω?上有一个均匀预饱和理想。见证正常力迫公理成立。存在包含武丁基数的真类。进一步地,对于每一个rank-existential语句φ若φ在V中成立那么存在一个universallyBaire集AR使得有:HOD‘??∩V_Θ?φ,其中Θ=Θ???‘??(A,R).(V=终极
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